การหา ค.ร.น. โดยวิธีการตั้งหาร

จงหา ค.ร.น. ของ  56 และ 72

2 ø56    72

2 ø28    36

2 ø14    18

       7      9

ดังนั้น   ค.ร.น. ของ  56 และ 72  คือ

2  ×  2 ×  2  ×  7  ×  9  =  504

................................................................

การหา ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบ

จงหา ค.ร.น. ของ 16 และ 24

16  =  2  ×  2  ×  2  ×  2

24  =  2  ×  2  ×  2  ×  3

ดังนั้น  ค.ร.น. ของ 16 และ 24 คือ  2  ×  2  ×  2  =  48

.................................................

การหา ค.ร.น. โดยวิธีพิจารณาพหุคูณ

จงหา ค.ร.น. ของ 9,12 และ 18

จำนวนนับที่เป็นพหุคูณของ 9 ได้แก่  9,18,27,36,60,72,......
จำนวนนับที่เป็นพหุคูณของ 12 ได้แก่  12,24,36,48,60,72,......
จำนวนนับที่เป็นพหุคูณของ 18 ได้แก่  18,36,54,72,90,......

จำนวนนับที่เป็นพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 9,12 และ 18 คือ  36

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 9,12 และ 18  คือ  36

........................................................

ค.ร.น. หรือ ตัวคูณร่วมน้อย

จำนวนนับที่น้อยที่สุด ที่มีจำนวนนับสองจำนวนใดๆ เป็นตัวประกอบ 
เรียกจำนวนนับนั้นว่า  ตัวคูณร่วมน้อย  หรือ  ค.ร.น. ของจำนวนนับทั้งสองนั้น

วิธีการหา ค.ร.น. มีได้ 3 วิธี  ดังนี้
1 โดยวิธีพิจารณาพหุคูณ
2 โดยการแยกตัวประกอบ
3 โดยการตั้งหาร

.....................................................

การหา ห.ร.ม. แบบวิธียูคลิค

จงหา ห.ร.ม. ของ 72 และ 240

ขั้นที่  1 

½   72  ½  240  ½ 3  นำ  72  ไปหาร  240

½         ½  216  ½     ได้  3 เศษ 24

½         ½    24  ½

ขั้นที่  2

½   72  ½  240  ½ 3  นำ  72  ไปหาร  240

½   72  ½  216  ½     ได้  3 เศษ 0

½     0  ½    24  ½

.................................................. ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 72 และ 240   คือ 24

การหา ห.ร.ม. โดยวิธีการตั้งหาร

จงหา ห.ร.ม. ของ 56 และ 72

 2 ø 56  72

2 ø 28  36

2 ø 14  18

       7    9    

ดังนั้น  ห.ร.ม. ของ 56 และ 72 คือ  2  ×  2  ×  2  =  8

.........................................................

การหา ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบ

จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 64

36  =  2 × 2 × 3 × 3

64  =  2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

จากการแยกตัวประกอบของ 36 และ 64 จะเห็นได้ว่า
ตัวประกอบร่วมของ 36 และ 64 ได้แก่  2 × 2
ดังนั้น  ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด ของ 36 และ 64 คือ 2  ×  2  =  4
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 64 คือ 4

...............................................................

ห.ร.ม การหารร่วมมาก

ตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนนับ 2 จำนวนใดใด เรียกว่า ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. ของจำนวนนับทั้งสองนั้น

การหา ห.ร.ม. มีการหา 3 วิธี ดังนี้
1 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีพิจารณาตัวประกอบ
2 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบ
3 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีการตั้งหาร

...............................................

จำนวนเฉพาะ

จากการหาตัวประกอบของจำนวนนับ จะพบว่า

1 เป็น ตัวประกอบของจำนวนนับทุกจำนวน
เพราะ 1 หารจำนวนนับทุกจำนวนลงตัว

จำนวนนับที่มากกว่า 1 ที่มีตัวประกอบทั้งหมด เพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง
เราเรียกว่า จำนวนเฉพาะ
ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ เรียกว่า ตัวประกอบเฉพาะ

..........................................

ตัวประกอบร่วม

จาก การหารตัวประกอบของจำนวนนับ

ต้วประกอบทั้งหมดของ 8 คือ 1,2,4 และ 8
ตัวประกอบทั้งหมดของ 10 คือ 1,2,3 และ 10

จะเห็นว่า 1,2 เป็นตัวประกอบทั้งของ 8 และ 10
เรียก 1 และ 2 ว่า เป็นตัวประกอบร่วม หรือ ตัวหารร่วมของ 8 และ 10

....................................................

การหารจำนวนนับ

การหารจำนวนนับ อาจมีได้ 2 กรณี คือ
1 การหารลงตัว
2 การหารเหลือเศษ

ในกรณีที่ การหารลงตัว เช่น
15 ÷ 5 = 3
เรียก 15 ว่า ตัวตั้ง
เรียก 5 ว่า ตัวหาร หรือ ตัวประกอบของ 15 และ 5 หาร 15 ได้ลงตัว

ตัวประกอบของจำนวนนับ คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นลงตัว

.......................................................

สมบัติของจำนวนนับ - คณิตศาสตร์ ม 2

จำนวนนับ

การเขียนตัวเลขแทนจำนวนใดใด ในระบบฮินดูอารบิก โดยแทนด้วยสัญล้กษณ์ 10 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
เราเรียกสัญลักษณ์ทั้ง 10 ตัวนี้ว่า  เลขโดด

จำนวน 1,2,3,4,... เรียกว่า จำนวนนับ

..........................................................................

วิธีการย่อความ-วิวิธภาษา ม.2

วิธีการย่อความ
1. อ่านเรื่องที่ย่อให้ละเอียด แล้วจับใจความรวมของเรื่อง เช่น ใคร ทำอะไร ที่ไหน เมื่อไหร่ อย่างไร เหตุใด และควรจัดลำดับเหตุการณ์หรือเวลาให้ชัดเจน

2. แยกข้อความที่อ่านในแต่ละย่อหน้า และจับใจความสำคัญของเรื่องให้ได้ว่า แต่ละย่อหน้าว่าด้วยเรื่องอะไร เขียนบันทึกสรุป และอ่านทวนทุกย่อหน้าจนครบ

3. ข้อความที่ย่อแล้ว ให้ใช้สรรพนามบุรุษที่ 3 ไม่ใช้สรรพนามบุรุษที่ 1 และที่ 2 ถ้าจำเป็นต้องเอ่ยถึงผู้เกี่ยวข้องให้ใช้ชื่อโดยตรง

4. รายละเอียดบางประเด็น เช่น ตัวอย่าง ถ้อยคำฟุ่มเฟือย คำศัพท์ ทำให้เรื่องนั้นเยิ่นเย้อ ให้ตัดออกไปได้ แต่ถ้ามีรายละเอียดที่มีสาระสำคัญที่สนับสนุนใจความสำคัญ ให้นำมาพิจารณารวมไว้ในเนื้อหาของย่อความนั้นด้วย

5. ถ้าข้อความเดิมใช้คำราชาศัพท์ เมื่อย่อให้ใช้คำราชาศัพท์นั้น

6. ไม่ใช้เครื่องหมายอัญประกาศ และไม่ย่อความโดยใช้อักษรย่อหีอคำย่อ

7. หาถ้อยคำใหม่แทนกลุ่มคำบางกลุ่ม เพื่อให้ได้ความหมายเท่าเดิมแต่ลดคำลง เช่น พระรัตนตรัย แทน พระพุทธ พระธรรม พระสงฆ์ เป็นต้น

8. นำข้อความที่เป็นสาระสำคัญในแต่ละย่อหน้ามาเรียบเรียงด้วยภาษาของตนเองให้มีเนื้อความต่อเนื่องกัน

9. อ่านทบทวนแก้ไขให้เรื่องที่ย่อนั้นได้เนื้อความที่ต่อเนื่องกันดี เหมาะสม และคงสาระสำคัญอย่างครบถ้วน

.......................................................

การจับประเด็นสำคัญ-วิวิธภาษา ม.2

การจับประเด็นสำคัญ - ผู้อ่านจะต้องจับประเด็นสำคัญของเรื่องที่อ่านหรือฟังให้ครบถ้วน ซึ่งในบทความแต่ละเรื่อง จะประกอบด้วยย่อหน้าหลายย่อหน้า และในย่อหน้าต่างๆประกอบด้วยย่อหน้าหลายๆย่อหน้า แต่ละย่อหน้าก็มีหลายประโยค ซึ่งตามปกติ ย่อหน้าจะแบ่งเป็นทั้ง ใจความ และ พลความ

ใจความ - ประโยค หรือข้อความที่สำคัญของย่อหน้า ถ้าเราตัดออกไป จะเสียความ หรือเนื้อความเปลี่ยนไปทันที

ประโยคใจความสำคัญ อาจอยู่ต้นย่อหน้า กลางย่อหน้า ท้ายย่อหน้า หรืออยู่ทั้งตอนต้น หรือตอนท้ายของย่อหน้าก็ได้

พลความ - ประโยค หรือข้อความที่เป็นส่วนขยายความ ทำหน้าที่ขยายใจความให้แจ่มชัดยิ่งขึ้น หากตัดพลความออกไป ยังคงเข้าใจเนื้อความสำคัญอยู่ ข้อความที่ขยายใจความสำคัญ มีหลายลักษณะดังนี้

1. อธิบายให้รายะเอียด หรือให้คำจำกัดความ
2. แสดงตัวอย่างประกอบเพื่อให้เข้าใจได้เด่นชัดขึ้น
3. เปรียบเทียบด้วยถ้อยคำหรือสำนวน หรือยกเรื่องราวเป็นอุทาหรณ์ เพื่อให้เข้าใจใจความได้ดีขึ้น
4. ให้เหตุผลโดยยกข้อมูล สถิติ หลักฐาน เป็นต้น

..........................................................

ความหมายของการย่อความ-วิวิธภาษา ม.2

ความหมายของการย่อความ - การเก็บใจความของเรื่อง จากข้อความที่อ่านหรือฟงัง แล้วนำสาระสำคัญมาเรียบเรียงใหม่ ให้ได้ใจความที่ชัดเจน สั้น กระชับ และครบถ้วน

เช่น  การย่อเรื่องจากหนังสือทั้งเล่ม ให้เหลือเพียง 1-2 หน้าเท่านั้น หรือ การย่อบทความที่มีความยาว 5 หน้า เหลือเพียงครึ่งหน้า เป็นต้น

..........................................

โจทย์ เลขยกกำลัง 1

จงหาผลลัพธ์ในรูปเลขยกกำลัง

1.    4 ⁵ × 5 ⁰ × 4⁷  

=  4 ⁵⁺⁷ × 5 ⁰

=  4 ¹² × 1

=   4 ¹²

.......................................................

2.    2 ³ × 4 ^-1

=  2 ³ × 2 ^2+(-1)

=  2 ³ × 2 ¹

=   2 ³⁺¹

= 2 ⁴

.......................................................
 3.    3 ^-4 × 3 ^-2 × 81

=  3 ^{-4 + (-2)} × 3 ³

=  3 ^-4-2+3

=  3 ^-3

=  1/3 ³

.......................................................

4.    (-2) ⁴  × (-2) ^-2 × (-2)^-2

=  (-2) ^{4 + (-2) + (-2)}

=  (-2) ⁰

=  1

.......................................................

การคูณเลขยกกำลัง

เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ m และ n แทนจำนวนเต็มบวก
a ^m  ×  a ⁿ   =   a <sup>m+n

ตัวอย่างเช่น
1. กำหนด m = 0 , n = 2
วิธีทำ</sup>

a ^m  ×  a ⁿ   =   a ⁰  ×  a ²

a ⁰  ×  a ²    =   1  ×  a ²  

=  a ²  

......................................

2. ^{กำหนด m = -5 , n = 0}

^{วิธีทำ}

a ^m  ×  a ⁿ   =   a ^-5  ×  a ⁰

a ^-5  ×  a ⁰   =   (1/a ⁵ )  ×  1  

=  1 / a ⁵

=  a ^-5

......................................

สมบัติของเลขยกกำลัง

1.  1.    aⁿ  =  a x a x a x a x ………….x a

คูณกันไป  n ตัว

เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ และ n แทนจำนวนเต็มบวก

Aⁿ  เป็นเลขยกกำลัง ที่มี a เป็นฐาน  และ  n เป็นเลขชี้กำลัง

เช่น  24⁵     =  24 × 24 × 24 × 24 × 24

2.  2.   a⁰   =  1  เมื่อ  a  แทนจำนวนใดใดที่ไม่ใช่ศูนย์
เช่น  12⁰   = 1, 450⁰  =  1

3.  3.   a^-n  =  1 / aⁿ  เมื่อ a แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศุนย์ และ n แทนจำนวนเต็มบวก
เช่น 5^-3  =  1 / 5 ³  

^{..............................................................}

การคิดดอกเบี้ยทบต้น 1

สมหมายฝากเงินไว้กับธนาคาร 3,500 บาท เป็นเวลา 2 ปี อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 2ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 12 เดือน และถูกหักภาษีดอกเบี้ย 15% เมื่อครบ 2 ปี สมหมายได้ดอกเบี้ยทั้งหมดประมาณเท่าไหร่

วิธีทำ
ธนาคาคิดดอกเบี้ย ดอกเบี้ยร้อยละ 2 ต่อปี และหักภาษีดอกเบี้ย 15%
ถ้าได้ดอกเบี้ย 2 บาท ให้เสียภาษี x บาท
เขียนสัดส่วนได้ดังนี้ (x / 2)  =  (15 / 100)
จะได้  x * 100  =  15 * 2
x  =  (15 * 2) / 100
ดังนั้น x  =  0.30

จะได้ดอกเบี้ยหลักหักภาษีได้ร้อยละ 2 - 0.30  =  1.70  ต่อปี
ให้  A  เป็นดอกเบี้ยหลังหักภาษีแล้วเมื่อสิ้นปีที่หนึ่ง
ได้ดอกเบี้ยร้อยละ 1.70 ต่อปี
สมหมายฝากเงินไว้กับธนาคาร 3,500 บาท เป็นเวลา 2 ปี = (3,500 * 12)  =  42,000  บาท

เขียนสัดส่วนได้ดังนี้  (A / 42,000)  =  (1.70 / 100)
จะได้  A * 100  =  42,000 * 1.70
A  =  (42,000 * 1.70) / 100
ดังนั้น  A  =  714

นั้นคือ  เมื่อสิ้นปีที่หนึ่ง สมหมายได้รับดอกเบี้ย  714  บาท

ต้นปีที่สอง  สมหมายมีเงินฝาก 42,000 + 714  =  42,714  บาท
ให้  B  เป็นดอกเบี้ยหลังหักภาษีแล้วเมื่อสิ้นปีที่สอง

เขียนสัดส่วนได้ดังนี้  (B / 42714)  =  (1.70 / 100)

จะได้  B * 100  =  42,714 * 1.70

B  =  (42,714 * 1.70) / 100

B  =  726.14

ดังนั้น  เมื่อสิ้นปีที่สอง  สมหมายได้รับดอกเบี้ยหลังหักภาษีแล้วประมาณ  726.14  บาท

นั่นคือ  เมื่อครบ 2 ปี สมหมายได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดประมาณ  714 + 726.14 = 1440.14 บาท

ตอบ  ประมาณ  1440.14 บาท

...............................................................

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ

ตัวอย่างเช่น

ชายคนหนึ่งได้รับเงินเดือนเดือนละ 20,000 บาท เขาจะต้องผ่อนชำระค่าบ้านร้อยละ 40 ของเงินเดือน ชายผู้นี้ผ่อนชำระค่าบ้านเดือนละเท่าไร

วิธีทำ  ชายผู้นี้ผ่อนชำระค่าบ้านเดือนละ x บาท
ชายคนนี้ได้รับเงินเดือนเดือนละ  20,000 บาท

เขาจะต้องผ่อนชำระค่าบ้านคิดเป็น  40%  =  40 / 100
เขียนสัดส่วนได้ดังนี้ (x / 20,000)  =  (40 / 100)
จะได้  x * 100  =  40 * 20,000
ดังนั้น  x  =  8,000

นั่นคือ ชายผู้นี้ผ่อนชำระค่าบ้านเดือนละ 8,000 บาท
ตอบ  8,000 บาท

.......................................................